Em 1676, Leibniz deduziu a fórmula para a derivada do produto de duas funções e também para o quociente. De qualquer forma, ele só publicou isso em 1684.

A regra do produto, serve para calcular a taxa de variação instantânea de y = fg. O resultado fica y’ = f’g +g’f. É o usual “deriva-conserva mais conserva-deriva”. Para as funções do tipo y = f/g, a derivada é (f’g – g´f)^2. Na regra do quociente é importante notar a presença de um sinal de subtração no numerador. Assim, é necessário começar derivando a função f e conservando a g.

Observe que para uma função y=cf, embora dada pelo produto de uma constante c e uma função, não vale a pena usar a regra do produto. Basta lembrar que se houver uma constante multiplicando uma função, y = cf, então y’ = cf’.

Uma função interessante de se estudar é aquela dada por y = 1/(1+x^2) – a conhecida Bruxa de Agnesi. Esse nome tem uma história ligada a um problema de tradução.

Pierre de Fermat (1601-1665) estudou a curva que, em 1718, Guido Grandi (1671–1742) chamou de versoria. Essa palavra em latim faz referência ao formato da curva, que se parece com uma corda.

Em 1748, Agnesi foi a primeira mulher a escrever um livro de Cálculo e ela estudou a curva cujo nome, em italiano, era versiera. Mais tarde, o matemático John Colson (1680–1760), que traduziu diversos livros para o inglês, confundiu la versiera com l’aversiera (bruxa) e a curva passou a ser chamada Bruxa de Agnesi.

Pelo fato de ser dada por um quociente, para determinar a inclinação de uma reta à Bruxa de Agnesi, é necessário utilizar-se da regra do quociente.

As regras do produto e quociente têm demonstração feita diretamente da definição de derivadas a partir dos limites.

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